ITA 2018 — Questão 43 · Conjunto dos Números Naturais

Notações

$\mathbb{R}$ : conjunto dos números reais

$i$ : unidade imaginária $i^2$ = 1

det(M) : determinante da matriz M

M^-1 : inversa da matriz M

M^T : transposta da matriz M

AB : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B

$[a,b]=$ { $x\in \mathbb{R}:a\le x\le b$ }

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Considere as seguintes afirmações:

I. se $n$ é um número natural, então $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+\frac{1}{2n}\ge \frac{1}{2}\mathrm{.}$

II. se $x$ é um número real e $x^3+x+1=0$ , então $x^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^6}=0$

III. se $a,b$ e $c$ são números reais positivos que formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, então $\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}},\frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}},\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ formam, nessa ordem, uma progressão aritmética.

É(são) VERDADEIRA(S)