IFMG 2019 — Questão 8 · Força Gravitacional e Satélites

Considere um planeta perfeitamente esférico de raio R e com uma massa M distribuída homogeneamente em seu volume. Admita que seja feito um túnel retilíneo cilíndrico muito fino de raio r (r << R) no interior desse planeta tal que esse túnel passe pelo centro do planeta (o comprimento do túnel é igual ao diâmetro do planeta). Considere agora que uma partícula de massa m (m << M) caia a partir do repouso dentro deste túnel e seja inicialmente atraída para o centro do planeta devido ao campo gravitacional do planeta. Como consequência da teoria newtoniana da gravitação, nessa situação física, a partícula irá descrever um movimento harmônico simples (MHS) no interior do planeta em torno do seu centro. O período T de tais oscilações é:

Observações: i) Considere G a constante universal gravitacional newtoniana. ii) Despreze a perda de massa do planeta quando da realização do túnel. iii) Admita que o planeta e a partícula estão afastados da influência de quaisquer outras interações físicas. iv) Despreze quaisquer efeitos dissipativos associados ao sistema físico em questão.