ITA 2022 — Questão 39 · Geometria plana

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

$\mathbb{N}$ = {1,2,3,...}: denota o conjunto dos números naturais.

$\mathbb{R}$: denota o conjunto dos números reais.

$\mathbb{C}$: denota o conjunto dos números complexos.

$i$: denota a unidade imaginária, $i^2$ = $-$1.

M_n ($\mathbb{R}$): denota o conjunto das matrizes $n\times n$ de entradas reais.

undefined: denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.

AB: denota a reta que passa pelos pontos A e B.

AÔB: denota o ângulo formado pelas semi-retas $\overrightarrow{OA}$ e $\overrightarrow{OB}$, com vértice no ponto O.

undefined(undefined) : denota o comprimento do segmento $\overline{AB}$.

det A: denota o determinante da matriz A.

Considere as afirmações:

I. Se $P$ é um polígono convexo de $n$ lados iguais, então $P$ é um polígono regular.

II. Seja $P$ um polígono convexo de 6 lados. Se seus ângulos internos, listados em ordem crescente, formam uma progressão aritmética, então a soma do menor e do maior ângulo interno de $P$ é 240º.

III. Existe um polígono convexo de 100 lados cujos ângulos internos, listados em ordem crescente, foram uma progressão aritmética de razão $r=1\text{º}\mathrm{.}$

É (são) sempre verdadeira(s):