ITA 2019 — Questão 43 · Conjunto dos Números Naturais

Notações $ℝ$: conjunto dos números reais $i$: unidade imaginária $i^2=-1$ det(M) : determinante da matriz M $M^{-1}$ : inversa da matriz M $M^T$ : transposta da matriz M AB : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B [a, b] = {x ∈ ℝ: a ≤ x ≤ b} Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares. Considere as seguintes afirmações: I. se $n$ é um número natural, então $\frac{\left(1\right)}{\left(n+1\right)}+\frac{\left(1\right)}{\left(n+2\right)}+\dots +\frac{\left(1\right)}{\left(2n\right)}\ge \frac{\left(1\right)}{\left(2\right)}$ II. se $x$ é um número real e $x^3+x+1=0$, então $x^2+\frac{\left(1\right)}{\left(x\right)}+\frac{\left(1\right)}{\left(x^6\right)}=0$ III. se $a,b$ e $c$ são números reais positivos que formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, então $\frac{\left(1\right)}{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)},\frac{\left(1\right)}{\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)},\frac{\left(1\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}$ formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. É(são) VERDADEIRA(S)